Day 18 : 動力系統模型之二 -- 離散型動力系統

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 18

AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列第 18 篇

11th鐵人賽

spidyjames

2019-09-19 23:56:53

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延續昨天的討論，今天一樣用一個例子來介紹離散型的動力系統。

範例

太空人在訓練中被要求手動控制做對接演練，過程中被要求保持一個正在運行的太空船與另一個正在運行的太空船之相對速度。手動控制器提供了可變的加速度與減速度，並且在太空船上架設一個裝置，用來測量兩艘飛船的接近速度。建議的飛船對接策略如下:
首先觀察接近速度，若為0則完成對接，反之，記錄當下接近速度，再看加速度控制器，控制加速度使得與接近速度相反，且正比於這個值。經過一段時間，再觀察接近速度並重複上面步驟，試問在甚麼環境下這策略是有效的。

提出問題
令 $v_n$ 表示在時間 $t_n$ 所觀察到的接近速度， $t_n$ 為第 $n$ 次觀察的時間，則 $\Delta v_n = v_{n+1} - v_n$ 表示調整後得到的太空船接近速度的改變，而 $\Delta t_n = t_{n+1} - t_n$ 為兩次觀測速度的間隔時間。時間區間可被分成兩個部分，1)調整速度控制器的時間和處於調整與下一次速度觀測間的時間，可記為 $\Delta t_n = c_n + w_n$ ，其中 $c_n$ 是調整控制器的時間， $w_n$ 是下一次觀測之前的等待時間。記 $a_n$ 為第 $n$ 次調整後設定的加速度，由運動學公式可得， $\Delta v_n = a_{n-1}c_n + a_{n} w_n$ ，此外控制規則要求加速度需正比於 $(-v_n)$ ，因此 $a_n = -k v_n$
變量:
$t_n$ = 第 $n$ 次觀測速度的時間(秒)
$v_n$ = 第 $t_n$ 時刻的速度(公尺/秒)
$c_n$ = 第 $n$ 次調整控制器的時間(秒)
$a_n$ = 第 $n$ 次調整後的加速度(公尺/秒 $^2$ )
$w_n$ = 第 $n+1$ 次觀測前的等待時間(秒)
假設:
$t_{n+1} = t_n + c_n + w_n$
$v_{n+1} = v_n + a_{n-1} c_n + a_{n} w_n$
$a_n = -k v_n$
$c_n > 0$
$w_n \ge 0$
目標:
確定是否有 $v_n \rightarrow 0$
選擇建模的方式
一個離散時間的動力系統由若干個定義在狀態空間 $S \subseteq \mathbb R^n$ 的狀態變數 $(x_1, \dots, x_n)$ 和差分方程組
$\Delta x_1 = f_1(x_1, \dots, x_n)$
$\dots$
$\Delta x_1 = f_1(x_1, \dots, x_n)$
所組成，其中 $\Delta x_n$ 表示在單位時間內 $x_n$ 的改變量。
將整個方程組已向量的形式改寫，
$\bar X = (x_1, \dots, x_n)$
$F = (f_1, \dots, f_n)$
$\Delta \bar X = F(\bar X)$
這差分方程的解危狀態空間的一系列點，
$\bar X(0), \bar X(1), \dots$
且對所有的 $n$ 有
$\Delta \bar X(n) = \bar X(n+1) - \bar X(n) = F(\bar X(n))$
若 $F(\bar X_0) = 0$ ，則 $\bar X_0$ 為平衡點
若 $\bar X (n) \rightarrow \bar X_{0}$ ，則平衡態是穩定的。
模型推導
$(v_{n+1} - v_n) = -k v_{n-1} c_n - k v_{n} c_n$
令
$\bar X_{1} (n) = v_n$
$\bar X_{2} (n) = v_{n-1}$
計算
$\Delta \bar X_{1} = - k w \bar X_{1} - k c \bar X_{2}$
$\Delta \bar X_{2} = \bar X_1 - \bar X_2$
求解模型
令
$\Delta \bar X_{1} = 0$
$\Delta \bar X_{2} = 0$
可以得出向量場 $F(\bar X) = (- k w \bar X_{1} - k c \bar X_{2}, \bar X_{1} - \bar X_{2})$ ，圖示如下。如果 $k$ , $c$ , $w$ 很大，則平衡態可能不穩定
闡述結果
只要控制器調整的不是太劇烈，則控制策略將起作用